Bei einer Reihe von periodischen Vorgängen bewegt sich ein Körper um eine Gleichgewichtslage (Ruhelage, Nulllage) hin und her. Beispiele dafür sind schwingende Saiten, die Schwingungen einer Stimmgabel, ein schwingendes Fadenpendel, die Schwingung eines Pkw auf unebener Fahrbahn, eine Schaukel oder ein Federschwinger.
Eine solche spezielle periodische Bewegung bezeichnet man als Schwingung und definiert:
Eine mechanische Schwingung ist eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers um eine Ruhelage.
Da sich bei mechanischen Schwingungen zeitlich periodisch z.B. der Abstand von der Gleichgewichtslage, die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung des betreffenden Körpers ändern, kann man eine Schwingung auch allgemeiner charakterisieren:
Eine Schwingung ist eine zeitlich periodische Änderung physikalischer Größen.
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Voraussetzungen für das Zustandekommen mechanischer Schwingungen
Damit überhaupt eine mechanische Schwingung entsteht, müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein:
- Es müssen schwingungsfähige Körper oder Teilchen vorhanden sein. Sie werden auch als Schwinger oder Oszillatoren bezeichnet.
- Die schwingungsfähigen Körper bzw. Teilchen müssen aus ihrer Gleichgewichtslage ausgelenkt werden. Dabei wird in der Regel Energie zugeführt.
- Es muss eine rücktreibende Kraft vorhanden sein, die bewirkt, dass sich der Körper bzw. die Teilchen nach der Auslenkung wieder in Richtung Gleichgewichtslage bewegen.
Die rücktreibende Kraft ist in diesem Fall eine Komponente der Gewichtskraft. Sie bewirkt, dass sich der Körper vom Punkt A aus in Richtung Gleichgewichtslage (Punkt B) bewegt und wirkt solange, bis der Körper die Gleichgewichtslage erreicht hat. Aufgrund seiner Trägheit bewegt sich der Körper über die Gleichgewichtslage hinweg bis zum Punkt C.
Bei dieser Bewegung ändert sich z. B. die Geschwindigkeit des Körpers: Sie ist in den Punkt A und C null und hat im Punkt B ihren maximalen Betrag. Es ändert sich auch die Beschleunigung oder die potenzielle Energie. Letztere ist in den Punkten A und C maximal, in Punkt B null.
Arten mechanischer Schwingungen
Mechanische Schwingungen können nach der Art der Energiezufuhr und nach der Form der Schwingungen unterschieden werden.
Nach der Art der Energiezufuhr unterscheidet man zwischen freien und erzwungenen Schwingungen. Nach der Form der Schwingungen differenziert man zwischen harmonischen und nicht harmonischen Schwingungen sowie ungedämpften und gedämpften Schwingungen.
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Freie und erzwungene Schwingungen
Körper, die einmalig aus der Ruhelage ausgelenkt werden und sich dann selbst überlassen bleiben, führen freie Schwingungen oder Eigenschwingungen aus. Solche freien Schwingungen führt zum Beispiel eine Stimmgabel aus, die einmal angeschlagen wird und dann schwingt. Das gilt auch für Saiten von Musikinstrumenten, die einmalig angeregt werden. Die Frequenz, mit der ein solcher sich selbst überlassener Körper schwingt, hängt nur von seinen Eigenschaften ab und wird als Eigenfrequenz dieses Schwingers bezeichnet.
Wird dagegen einem schwingenden Körper ständig von außen Energie zugeführt, so führt er erzwungene Schwingungen aus. Das gilt z. B. für ein Kind auf einer Schaukel, das periodisch von außen angestoßen wird. Auch einem Metronom wird ständig über eine Antriebsfeder Energie zugeführt. Es führt damit erzwungene Schwingungen aus. Eine Maschine kann das Fundament, auf dem sie steht, zu erzwungenen Schwingungen anregen. Und selbst der Wind ist in der Lage, hohe Bauwerke, Bäume oder Brücken zu erzwungenen Schwingungen anzuregen.
Harmonische und nicht harmonische Schwingungen
Nach der Form der Schwingungen kann man zwischen harmonischen und nicht harmonischen Schwingungen unterscheiden.
Harmonische Schwingungen sind dadurch gekennzeichnet, dass man sie mathematisch leicht mithilfe der Sinusfunktion beschreiben kann. Sie werden deshalb auch als sinusförmige Schwingungen bezeichnet.
Ungedämpfte und gedämpfte Schwingungen
Nach der Form der Schwingungen kann man zwischen ungedämpften Schwingungen und gedämpften Schwingungen unterscheiden.
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Ein sich selbst überlassener Körper führt immer gedämpfte Schwingungen aus, da stets Reibung auftritt und durch Reibung ein Teil der mechanischen Energie in thermische Energie umgewandelt und als Wärme an die Umgebung abgegeben wird.
Soll ein Körper ungedämpfte Schwingungen ausführen, so muss ihm die Energie, die durch Reibung in thermische Energie umgewandelt wird, periodisch wieder zugeführt werden.
Beschreibung mechanischer Schwingungen
Eine mechanische Schwingung kann in unterschiedlicher Weise beschrieben werden. Nachfolgend sind die wichtigsten Möglichkeiten der Beschreibung von Schwingungen dargestellt.
Beschreibung durch Schwingungsaufzeichnung
Der Verlauf von Schwingungen kann in unterschiedlicher Weise aufgezeichnet und damit sichtbar gemacht werden. Die Schwingungen von Stimmgabeln kann man z. B. mit einem Mikrofon empfangen und mit einem Oszillografen sichtbar machen.
Beschreibung durch ein y-t-Diagramm
Eine Schwingung kann man genauer beschreiben, wenn man den zeitlichen Verlauf der Auslenkung y darstellt. Man erhält dann ein y-t-Diagramm dieser Schwingung. Der Kurvenverlauf entspricht den jeweiligen Schwingungszuständen.
Beschreibung durch physikalische Größen
Schwingungen kann man mit den physikalischen Größen Auslenkung (Elongation), Amplitude, Schwingungsdauer (Periodendauer) und Frequenz beschreiben. Diese vier Größen sind in der nachfolgenden Übersicht genauer charakterisiert.
Frequenz und Schwingungsdauer
Frequenz und Schwingungsdauer sind wichtige Größen sowohl für die Beschreibung von mechanischen wie auch von nichtmechanischen Schwingungen. Sie hängen eng miteinander zusammen.
Die Frequenz gibt die Anzahl der Schwingungen je Sekunde an. Die Frequenz kann berechnet werden mit den Gleichungen:
f = 1 / T und f = n / t
T Schwingungsdauer; n Anzahl der Schwingungen; t Zeit für die n Schwingungen
Durch Umstellung erhält man die entsprechenden Gleichungen für die Schwingungsdauer:
T = 1 / f und T = t / n oder T = n / f
Beschreibung durch eine Gleichung
Körper können in sehr unterschiedlicher Weise schwingen.
Für harmonische Schwingungen, z. B. Der Ausdruck 2 π ⋅ f wird auch als Kreisfrequenz ω bezeichnet. Damit erhält man als Schwingungsgleichung:
y = y max ⋅ sin ( ω ⋅ t )
Da harmonische Schwingungen mit einer Sinusfunktion beschrieben werden, spricht man auch von sinusförmigen Schwingungen. Daneben gibt es aber eine Vielzahl von Schwingungen, die nicht sinusförmig verlaufen.
Hat eine harmonische (sinusförmige) Schwingung zum Zeitpunkt t = 0 den Phasenwinkel φ 0 , dann muss das in der Schwingungsgleichung berücksichtigt werden.
v = d y / d t = y max ⋅ ω ⋅ cos ( ω ⋅ t + φ 0 )
Die maximale Geschwindigkeit wird erreicht , wenn der Faktor cos ( ω ⋅ t + φ 0 ) = 1 ist . Dann beträgt die Geschwindigkeit:
v = y max ⋅ ω = y max ⋅ 2 π / T = y max ⋅ 2 π ⋅ f
Diese maximale Geschwindigkeit wird beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage erreicht. In den Umkehrpunkten ist sie null.
Die Beschleunigung ergibt sich als erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit bzw.
a = d v / d t = d 2 y / d t 2 = − y max ⋅ ω 2 ⋅ sin ( ω ⋅ t + φ 0 )
Setzt man für y max ⋅ sin ( ω ⋅ t + φ 0 ) = y ein , so erhält man:
a = − y ⋅ ω 2
Die maximale Beschleunigung ergibt sich für sin ( ω ⋅ t + φ 0 ) = 1 zu:
a = − y max ⋅ ω 2
Die maximale Beschleunigung wird in den Umkehrpunkten erreicht.
Energie bei harmonischen Schwingungen
Geht man von einer ungedämpften harmonischen Schwingung aus, dann ändert sich bei mechanischen Schwingern ständig die potenzielle und die kinetische Energie, wobei die Gesamtenergie gleich bleibt.
Daher kann man die Energie eines harmonischen Oszillators z.B. aus seiner maximalen Geschwindigkeit berechnen, weil zum Zeitpunkt der maximalen Geschwindigkeit die kinetische Energie maximal und die potenzielle Energie null sind:
E = E kin , max = 1 / 2 m ⋅ v 2 und mit v = v max = y max ⋅ ω :
E = 1 / 2 m ⋅ y max 2 ⋅ ω 2
Bei einem Federschwinger kann man die Energie des Schwingers auch mithilfe der Federkonstanten (Richtgröße, Rückstellfaktor) ausdrücken und erhält dann für die Energie den Ausdruck:
E = 1 / 2 D ⋅ y max 2
Kraftgesetz für harmonische Schwingungen
Bei einer harmonischen mechanischen Schwingung ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung. Es gilt stets:
F → ∼ − y →