Der Aufschlag ist ein zentraler Bestandteil im Tennisspiel, mit dem die Spieler und Spielerinnen schon einen direkten Punkt im Match holen können. Der ideale Wurf für einen Aufschlag ist ein senkrechter Wurf. Was man darunter versteht und wie Du ihn berechnest, erfährst Du in diesem Artikel.
Senkrechter Wurf - Physik
Tennisspielerinnen und die Tennisspieler holen aus, schwingen den Arm mitsamt dem Tennisball nach oben und lassen den Ball vertikal mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit v0 in einer Höhe y0 oder h0 los. Zunächst gewinnt der Tennisball noch weiter an Höhe. Doch ab einem gewissen Punkt fliegt dieser nicht mehr weiter nach oben, sondern sinkt wieder, bis er schließlich auf dem Boden landet. Dies beschreibt die Wurfbewegung eines senkrechten Wurfs nach oben mit Anfangshöhe. Es gibt aber auch noch weitere Arten des senkrechten Wurfs.
Senkrechter Wurf - Einteilung Bewegung
Der Tennisball kann beim Aufschlag vertikal nach oben geworfen, damit wird ein senkrechter Wurf ausgeführt. Einige Spielerinnen und Spieler bereiten sich auf den Aufschlag vor, indem sie den Ball vor sich her dribbeln. Auch das wäre ein senkrechter Wurf, jedoch nach unten. Folgende Einteilung kann bei einem senkrechten Wurf vorgenommen werden:
Abbildung 2 zeigt links, wie sich die senkrechten Würfe nach oben lediglich darin unterscheiden, dass der Wurf entweder in einer gewissen Höhe y0 oder bei einer Höhe y0=0 m beginnt. In beiden Fällen fliegt der Ball mit einer nach oben gerichteten Anfangsgeschwindigkeit v0 (grüne Markierung im Bild) bis zu einer gewissen Höhe ymax. Von dort an ändert er seine Richtung und fällt zu Boden.
Wird ein Ball oder ein anderes Objekt vertikal mit der nach unten gerichteten Anfangsgeschwindigkeit v0 nach unten geworfen, handelt es sich um einen senkrechten Wurf nach unten. Die grün eingezeichnete Anfangsgeschwindigkeit im rechten Teil der Abbildung 2 zeigt dies an. Die Anfangshöhe y0 entspricht hier der maximalen Höhe ymax.
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Wird ein Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 vertikal nach oben oder unten geworfen, so wird diese Bewegung in der Physik als senkrechter Wurf bezeichnet.
Diese und weitere Erkenntnisse lassen sich zu den Eigenschaften eines senkrechten Wurfs zusammenfassen. Wird ein Körper nicht senkrecht nach oben oder unten abgeworfen, handelt es sich nicht mehr um einen senkrechten Wurf. Weitere Würfe sind z. B. der waagrechte Wurf und der schräge Wurf.
Senkrechter Wurf - Eigenschaften
Je nachdem, ob es sich um einen senkrechten Wurf nach oben oder nach unten handelt, können folgende Merkmale definiert werden:
| Senkrechter Wurf nach oben | Senkrechter Wurf nach unten | |
|---|---|---|
| Senkrechter Abwurf (positive y-Richtung) | Senkrechter Abwurf (negative y-Richtung) | |
| Abwurfgeschwindigkeit v0 nach oben gerichtet | Abwurfgeschwindigkeit v0 nach unten gerichtet | |
| Aufwärts- und Abwärtsbewegung | nur Abwärtsbewegung | |
| Abwurfhöhe y0 oder y0=0 m | Abwurfhöhe y0 ist maximale Höhe ymax | |
| Überlagerung von gleichförmiger Bewegung und dem freien Fall |
Die Wurfbewegung des senkrechten Wurfs wird als Überlagerung von zwei Teilbewegungen gesehen. Warum das so ist und wie sich die Wurfbewegung beschreiben und berechnen lässt, erfährst Du im Folgenden.
Senkrechter Wurf - Grundlagenwissen
Der zeitliche Verlauf einer Bewegung und die damit auftretenden Geschwindigkeiten v und Beschleunigungen a sind entscheidend dafür, in welche Kategorie eine Bewegung eingeteilt werden kann. Bewegt sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit v0 fort (er wird also weder schneller noch langsamer), dann führt dieser eine gleichförmige Bewegung aus. Dies zeigt auch der linke Teil von Abbildung 3.
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Ist die Geschwindigkeit v eines Körpers im Verlauf einer Bewegung nicht konstant (er wird also schneller oder langsamer), dann fällt die Bewegung in die Kategorie der ungleichförmigen Bewegung. Dabei kann noch zwischen Bewegungen mit konstanter Beschleunigung a (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) und ungleichmäßig beschleunigten Bewegungen unterschieden werden, bei denen die Beschleunigung a nicht konstant ist.
Die Wurfbewegung des senkrechten Wurfs ist eine Überlagerung von zwei Teilbewegungen:
- einer gleichförmigen Bewegung in positiver y-Richtung (nach oben oder nach unten)
- und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (freier Fall) in negativer y-Richtung (nach unten)
Möglich ist diese Überlagerung aufgrund des sogenannten Superpositionsprinzips bzw. Unabhängigkeitsprinzips. Dieses besagt, dass sich Teilbewegungen zu einer Gesamtbewegung überlagern können, wenn sie sich gegenseitig nicht beeinflussen.
In der Tabelle findest du eine kurze Wiederholung der wichtigsten Größen und Eigenschaften dieser beiden Bewegungsarten.
| Größe | Gleichförmige Bewegung | Freier Fall (Orientierung KOS nach oben) | Freier Fall (Orientierung KOS nach unten) |
|---|---|---|---|
| Geschwindigkeit v(t) | v(t)=v0=konst. | v(t)=-g·t | v(t)=g·t |
| Beschleunigung a(t) | a(t)=0 ms2 | a(t)=-g=-9,81 ms2 | a(t)=g=9,81 ms2 |
| Strecke s(t) | s(t)=v0·t | s(t)=s0-12·g·t2 | s(t)=12·g·t2 |
Je nach Orientierung des Koordinatensystems müssen beim freien Fall die Formeln angepasst werden. Dies ist auch beim senkrechten Wurf relevant, wie im Folgenden noch aufgezeigt wird.
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Senkrechter Wurf - Einfluss der Gewichtskraft
Wird ein Ball oder ein anderer Körper senkrecht nach oben abgeworfen, dann nimmt die Höhe bis zu einem gewissen Punkt zu. Danach kehrt die Flugrichtung des Balls um und er verliert an Höhe, bis er auf dem Boden aufprallt. Grund dafür ist die Erdanziehungskraft bzw. die Gewichtskraft F→G, die für eine Anziehung zwischen massereichen Objekten und der Erde sorgt. Aufgrund des Newtonschen Grundgesetzes FG=m·gwird demnach jeder Körper mit der sogenannten Fallbeschleunigung g zum Erdmittelpunkt hin beschleunigt.
Diese Erdbeschleunigung g entspricht ungefähr dem Wert einer Beschleunigung von g=9,81 ms2. Da sich dieser Anziehungseffekt nie ausschalten lässt, kann auch ein vertikal nach oben geworfener Ball (wie in Abbildung 4) nie endlos weiter nach oben fliegen und sinkt daher früher oder später wieder zu Boden. Deshalb muss in y-Richtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung des freien Falls berücksichtigt werden.
Senkrechter Wurf nach oben - Berechnung und Formeln
In der Einteilung hast du bereits gesehen, dass sich die Startsituation beim senkrechten Wurf nach oben und dem senkrechten Wurf nach unten unterscheidet. Zunächst zum senkrechten Wurf nach oben.
Senkrechter Wurf nach oben - Geschwindigkeiten und Beschleunigung
Um die Geschwindigkeiten beim senkrechten Wurf nach oben besser nachvollziehen zu können, wird das Beispiel eines Tennisaufschlags zur Hand genommen. Da sich bei den zwei senkrechten Würfen nach oben lediglich die Anfangshöhe unterscheidet, wird der Fall mit Anfangshöhe y0 betrachtet und später lediglich die Formel angepasst.
Bei der Geschwindigkeit handelt es sich um eine gerichtete Größe, weshalb sie mit Pfeil dargestellt wird. Da für Berechnungen aber meist nur der Betrag relevant ist, werden die Formeln ohne diesen Pfeil aufgezeigt.
Vor dem Start der Bewegung wird der Ball in der Hand des Spielenden beschleunigt und verlässt die Hand dann mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit v0 in y-Richtung nach oben. Die Startgeschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung in positiver y-Richtung wird daher als vGB(0) zum Zeitpunkt t=0 s deklariert.
vGB(0)=v0 Zum besseren Verständnis wird hier der Index GB = gleichförmige Bewegung verwendet.
Würde lediglich die gleichförmige Bewegung betrachtet werden, so ändert sich diese Geschwindigkeit vGB(t)nicht.
vGB(t)=v0 Zum Startzeitpunkt t=0 s gibt es noch keine weitere Geschwindigkeit. Schon kurz nach dem Start verringert der Ball seine anfängliche Geschwindigkeit. Der Grund dafür ist die Erdbeschleunigung g. Diese Geschwindigkeit lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t und der Fallbeschleunigung g berechnen.
vFF(t)=-g·t Auch hier wird der Index zum Kennzeichnen der Bewegung verwendet: FF steht für freier Fall. Achte auch auf das Vorzeichen bei der Formel. Die Erdbeschleunigung muss hier negativ sein, da das Koordinatensystem entsprechend gewählt wurde.
Der senkrechte Wurf kann wie oben bereits beschrieben als Überlagerung der zwei Teilbewegungen gesehen werden. Um also die Geschwindigkeit des Balls oder Körpers zu bestimmen, müssen beide Einzelgeschwindigkeiten zusammengefasst werden. Die nachfolgende Tabelle zeigt die Geschwindigkeiten zu verschiedenen Zeitpunkten und Zeiträumen.
| Geschwindigkeiten beim senkrechten Wurf nach oben | Aufwärtsbewegung | Abwärtsbewegung | |
|---|---|---|---|
| t = 0 s | t < tS | t = tS (Steigzeit) | t > tS |
| vGB(0)=v0 vFF(0)=0 | vGB(t) > vFF(t) | vGB(t)=vFF(t) | vGB(t) < vFF(t) |
| v(0)=v0 | v(t)=v0-g·t | vtS= 0 | v(t)=v0-g·t |
Die Gesamtgeschwindigkeit v(t) kann also zu jedem Zeitpunkt berechnet werden, indem beide Teilformeln zu einer gesamten Formel zusammengesetzt werden.
Die Geschwindigkeit v(t) beim senkrechten Wurf nach oben in Abhängigkeit von den Teilgeschwindigkeiten vGB(t) der gleichförmigen Bewegung und vFF(t) des freien Falls wird wie folgt berechnet:
v(t)=vGB(t)+vFF(t)
v(t)=v0-g·t
mit v(t): Geschwindigkeit in ms, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, g: Erdbeschleunigung in ms2, t: Zeit in s Die Geschwindigkeit des Balls bzw. des Körpers lässt sich damit bestimmen. In diesem Zuge ist auch die Beschleunigung a(t) zu nennen. Da eine Beschleunigung lediglich beim freien Fall existiert, kann die Gesamtbeschleunigung wie folgt zusammengefasst werden:
Beschleunigung a(t) beim senkrechten Wurf nach oben in Abhängigkeit der Erdbeschleunigung g:
a(t)=-g=-9,81 ms2
mit a(t): Beschleunigung in ms2, g: Erdbeschleunigung in ms2 Zu unterschiedlichen Zeitpunkten und damit Positionen des Balls herrschen unterschiedliche Geschwindigkeiten.
Senkrechter Wurf nach oben - Position
Die Position des Balls lässt sich nur mithilfe eines Bezugssystems bestimmen. Dieses ist das Koordinatensystem, in dem die Lage des Balls ermittelt werden kann. Das folgende Bild zeigt dabei die verschiedenen Positionen beim senkrechten Wurf nach oben mit Anfangshöhe. Zum Startzeitpunkt t=0 s verlässt der Ball gerade die Hand der spielenden Person. Das Koordinatensystem wird meist so ausgerichtet, dass der Ursprung der Achsen genau mit dem Boden übereinstimmt. Zu Beginn der Bewegung ist die Position y(t) des Balls:
y(0)=y0
Oft wird statt der Position y(t) auch von der Höhe h(t) gesprochen.
Die Position zum Startzeitpunkt ist demnach schon vorgegeben. Wichtig ist es zu wissen, wo sich der Ball auf der y-Achse zu einem beliebigen Zeitpunkt t befindet. Dazu kann die Gesamtbewegung zunächst einzeln betrachtet werden. Bei einer gleichförmigen Bewegung lässt sich die Position y(t) durch die Anfangshöhe y0 und die Anfangsgeschwindigkeit v0 ermitteln.
yGB(t)=y0+v0·t
Hinzu kommt aber noch die zweite Teilbewegung des freien Falls. Einzeln betrachtet lässt sich die Position yFF(t) wie folgt berechnen:
yFF(t)=-12·g·t2
Damit die Position y(t) berechnet werden kann, sind die beiden Teilbewegungen wieder zusammenzusetzen, woraus sich Folgendes ergibt:
Die Position y(t) beim senkrechten Wurf nach oben mit Anfangshöhe y0 in Abhängigkeit der Teilbewegungen der gleichförmigen Bewegung und des freien Falls wird wie folgt berechnet:
y(t)=yGB(t)+yFF(t)
y(t)=y0+v0·t-12·g·t2
mit y(t): Position in m, y0: Anfangshöhe in m, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, t: Zeit in s, g: Erdbeschleunigung in ms2 Egal, ob sich der Ball aufwärts bewegt oder sich schon in der Abwärtsbewegung befindet, anhand dieser Formel lässt sich zu jedem Zeitpunkt die Position des Körpers bestimmen. Es kann auch sein, dass ein senkrechter Wurf ohne Anfangshöhe y0 abgeworfen wird, dann gilt y0=0 m. Dies wird in der Formel berücksichtigt, indem der Anfangszustand eingesetzt wird. Es gilt:
Die Position y(t) beim senkrechten Wurf nach oben mit y0=0 m in Abhängigkeit der Teilbewegungen der gleichförmigen Bewegung und des freien Falls lautet:
y(t)=v0·t - 12·g·t2
mit y(t): Position in m, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, t: Zeit in s, g: Erdbeschleunigung in ms2 Die Position des Balls kannst Du mit dieser Formel für jeden Zeitpunkt bestimmen.
Senkrechter Wurf nach oben - Wurfhöhe, Steigzeit, Wurfzeit
Anhand der bisherigen Formeln und Informationen können die maximale Wurfhöhe ymax, die Steigzeit tS und die Wurfzeit tW bestimmt werden.
Die Steigzeit tS ist die Zeit, die der Ball bis zum Erreichen der maximalen Höhe ymax benötigt. Der Ball wechselt genau in diesem Moment seine Richtung. Zu diesem Zeitpunkt sind die Teilgeschwindigkeiten vGB(t) der gleichförmigen Bewegung und vFF(t) des freien Falls gleich groß. Demnach ist die Gesamtgeschwindigkeit v(t) in diesem Punkt gleich null. Wird die Formel für die Berechnung der Gesamtgeschwindigkeit gleich null gesetzt, so ergibt sich die Steigzeit tS: