Ein Kind schaukelt auf einer Schaukel und holt mit den Beinen Schwung - für Physiker ist das eine einigermaßen einfache Schwingungsbewegung, die sie eine parametrische Oszillation nennen. Etwas komplizierter wird es, wenn neben dem Kind auch noch die Mutter oder der Vater zugegen ist und zusätzlichen Schwung verleiht.
Ein interdisziplinäres Team von theoretischen Physikern und Experimentalphysikern der ETH Zürich hat genau diese Berechnung nun gelungen. Erstmals beschreiben die Forschenden, wie man eine parametrische Oszillation - das Schwingen mit dem Krafteintrag des Kinds - nutzen kann, um damit einen Krafteintrag von außen - das Stoßen des Elternteils - zu messen. Ihre Erkenntnis lässt sich in Sensoren anwenden.
Die Wissenschaftler haben das darunterliegende Prinzip zum Patent angemeldet. „Bereits heute fußen viele Sensoren auf Oszillationen“, erklärt Oded Zilberberg, Professor am Institut für theoretische Physik. „Man kann zum Beispiel mit kleinen Resonatoren Kräfte, Drücke, Massen, Schall oder Temperaturen messen.“ Für solche Messungen kompliziertere Schwingungen zu verwenden, wie es Zilberberg und seine Kollegen vorschlagen, stellt letztlich einen Paradigmenwechsel dar. Sensoren müssten dazu anders konstruiert werden. Besonders für sehr kleine Sensoren bringe das neue Prinzip Vorteile, sagt der Physiker.
Entdeckt haben die Wissenschaftler das neue Prinzip, als sie in einem Quantenphysikexperiment mit Rubidium-Atomen parametrische Oszillationen untersuchten. Später erforschten sie den Effekt mit einer parametrisch oszillierenden Gitarrensaite. Auf diese Saiten übten die Wissenschaftler von außen eine pulsierende Kraft aus, wobei sie die Frequenz dieses Pulses kontinuierlich variierten.
Wie die Forschenden beobachteten, veränderte sich die Amplitude der Schwingung der Saite nicht vollständig kontinuierlich, sondern sie änderte sich bei einer bestimmten Frequenz sprunghaft. Zilberberg und seine Kollegen suchen nun Industriepartner, welche helfen, hochauflösende Sensoren zu entwickeln. Und selbst in der Computertechnik könnte das neue Prinzip zur Anwendung kommen.
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Zilberberg: „In der Frühphase des Computerzeitalters gab es Computerspeicher, die auf Oszillatoren basierten, sogenannte Parametrons. Später verlor die Computerindustrie das Interesse an ihnen.
Grundlagen der Schwingungslehre
Die beiden Definitionen von Schwingungen und Wellen haben in der Physik einen engen Zusammenhang. Eine Schwingung liegt vor, wenn sich eine physikalische Zustandsgröße periodisch mit der Zeit um einen Mittelwert herum ändert. Das kann zum Beispiel der Wasserstand im Meer sein, der periodisch steigt und sinkt.
Vielleicht ist es dir nicht bewusst, aber Schwingungen begegnen dir überall im Alltag. Das beste Beispiel ist der Schall, den du hören kannst. Wir zeigen dir hier alle Eigenschaften von Schwingungen und Wellen, die du kennen solltest, und erläutern, was man so alles als Welle oder Schwingung beschreiben kann.
Schwingungen können in unterschiedlicher Weise dargestellt werden. Eine Möglichkeit besteht in der mathematischen Beschreibung mithilfe der Schwingungsgleichung y = y max ⋅ sin ( ω ⋅ t + φ 0 ) . Eine zweite Möglichkeit ist die Darstellung in y-t-Diagrammen, die man auch experimentell durch eine der vielfältigen Formen der Schwingungsaufzeichnung gewinnen kann. Für harmonische Schwingungen gibt es noch eine dritte, recht anschauliche und leicht zu realisierende Möglichkeit, die Zeigerdarstellung.
Die Zeigerdarstellung
Dabei wird genutzt, dass man eine harmonische Schwingung als Projektion eines gleichförmig rotierenden Zeigers auf eine Achse auffassen kann. Wir betrachten zunächst den allgemeinen Fall einer Zeigerdarstellung. Zum Vergleich ist das entsprechende y-t-Diagramm mit angegeben. Der Zeiger rotiert stets gleichförmig in mathematisch positivem Sinn, also entgegen der Uhrzeigerrichtung.
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Die Projektion des Zeigers auf eine vertikale Achse ist gleich der jeweiligen Elongation (Auslenkung). So hat z.B. der in Bild 2 dargestellte Zeiger zum gezeichneten Zeitpunkt t = 0 die Elongation y. Eine vollständige Schwingung entspricht einer vollständigen Drehung des Zeigers.
Kennt man das Prinzip der Zeigerdarstellung, dann kann man eine wesentlich einfachere Möglichkeit wählen: Es wird lediglich der Zeiger in seiner Länge und Lage dargestellt, so wie das in Bild 3 gezeichnet ist. Diese Darstellung ist gewöhnungsbedürftig, aber sehr effektiv. Zum Vergleich ist deshalb das entsprechende y-t-Diagramm mit angegeben. Darauf könnte man aber verzichten.
Überlagerung von Schwingungen
Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz, so ergibt sich wieder eine harmonische Schwingung. Das Zeigerdiagramm ermöglicht in einfacher Weise die Kennzeichnung der resultierenden harmonischen Schwingung: Die Amplitude der resultierenden Schwingung ergibt sich durch vektorielle Addition der Zeiger der Einzelschwingungen. Ebenfalls ablesen kann man die Phasenlage der Schwingungen zueinander.
Der Winkel zwischen den Zeigern r 1 und r 2 ist gleich der Phasendifferenz zwischen den Einzelschwingungen. Die Phasenlage des resultierenden Zeigers r kann auch abgelesen werden.
Aus dieser Betrachtung ergeben sich auch sofort zwei Spezialfälle: Bei gleicher Länge der Zeiger (gleicher Amplitude) und gleicher Phasenlage ergibt sich als resultierende Schwingung eine, die die doppelte Amplitude und die gleiche Phasenlage hat.
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Bei gleicher Länge der Zeiger und einer Phasendifferenz von 180° ist die Amplitude der resultierenden Schwingung null. Die Schwingungen löschen sich aus.
Sind die Frequenzen von zwei Schwingungen unterschiedlich, so rotieren die Zeiger mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Damit ändert sich auch ihre Lage zueinander ständig.
Alltagsphysik: Höher, schneller, weiter schaukeln
Intuitiv scheint der Mensch zu wissen, wie man schaukelt. Aber wie lässt sich das mathematisch beschreiben? Ein japanisch-australisches Forschungsteam hat die Bewegung modelliert. Der Bewegungsablauf lässt sich mathematisch beschreiben - ist jedoch alles andere als trivial.
Die allermeisten von Ihnen werden sich daran erinnern, wann und wie sie Fahrradfahren gelernt haben. Aber wissen Sie auch noch, wann Sie ein Gefühl dafür entwickelt hatten, in welchem Rhythmus Sie Ihren Oberkörper sowie Ihre Beine vor- und zurückbewegen müssen, um Schwung beim Schaukeln aufzunehmen?
Ein japanisch-australisches Forschungsteam hat nun ein mathematisches Modell für die ultimative Schaukelstrategie entwickelt. Das Modell zeigt insbesondere, wie Menschen ihre Schwungtechnik anpassen, je höher und schneller sie schaukeln.
Doch zunächst zu den physikalischen Grundlagen: Ein Mensch auf einer Spielplatzschaukel lässt sich als gekoppeltes System aus zwei Pendelkörpern beschreiben, die jeweils Schwingungen ausführen können. Das bedeutet, dass zwischen der Schaukel und dem Schaukelnden Energie ausgetauscht wird. Beginnt der Mensch sich rhythmisch hin- und herzubewegen, schwingt die Schaukel mit.
Wie effizient das gekoppelte System schwingt, hängt von drei Faktoren ab: der Frequenz, mit der die Person auf der Schaukel ihren Körper vor- und zurückbewegt, der Amplitude, also wie stark die Schaukel nach oben ausgelenkt wird, und schließlich der Phase, die ausdrückt, um welchen Zeitabstand die Bewegung des Körpers gegen die der Schaukel verschoben ist.
Anhand der Bewegungsdaten von zehn Versuchsteilnehmerinnen, die auf Schaukeln mit drei verschiedenen Schaukellängen saßen, ermittelte das Team um Chiaki Hirat von der Jumonji University in Niiza den optimalen Bewegungsablauf. Das Ergebnis hat es im Fachmagazin »Physical Review E« veröffentlicht.
»Unser Modell sagt vorher, dass die Schaukel in der Anfangsphase am besten schwingt, wenn man sich genau dann maximal zurücklehnt, sobald sich die Schaukel in einer vertikalen, das heißt mittleren, Position befindet«, erklären die Autoren. Sobald die Schaukelbewegung an Fahrt aufnimmt, müsse man sich zunehmend früher zurücklehnen - idealerweise am höchsten Punkt, bevor es wieder in die Vorwärtsbewegung geht. Die periodischen Kurven von Schaukel- und Körperbewegung verschieben sich entsprechend mit zunehmender Schwingungsamplitude gegeneinander.
Bisherige Beschreibungsversuche hätten dieses Verhalten nur unzureichend erfasst. So gehe das Fest-Frequenz-Modell (FFM) beispielsweise davon aus, dass die schaukelnde Person sich mit einer immer gleichen Frequenz vor- und zurückbewegt und der Körper eine gleich bleibende Sinuswelle erzeugt. Mit zunehmender Amplitude stimme dieses Modell jedoch nicht mehr mit der Realität überein.
Das Rechteck-Wellen-Modell (SWM) dagegen kalkuliere zwar mit ein, dass Menschen ihr Gewicht automatisch verlagern, je nachdem, wie weit sie schwingen und an welcher Stelle sie sich befinden. Allerdings suggeriere es eine ruckartige, unnatürliche Anpassung der Position, während dieser Vorgang in Wirklichkeit nahtlos erfolgt.
Die Forscher entwarfen auf der Grundlage ihrer experimentellen Beobachtungen ein verbessertes Modell, das die sanfte Oberkörperbewegung des FFM mit der Frequenzanpassung des SWM kombiniert. Es bleiben jedoch noch einige Forschungsfragen offen, unter anderem die, warum das alles so selbstverständlich für uns ist.
Mathematische Beschreibung der harmonischen Schwingung
Wir zeigen, dass aus der Eigenschaft des linearen Kraftgesetzes einer harmonischen Schwingung die Eigenschaft folgt, dass die Schwingung die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung ist, d.h. wir zeigen\[F_{\rm{rück}} =-k \cdot y \Rightarrow y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]
Wir beginnen wieder mit dem 2. Aus der Voraussetzung des linearen Kraftgesetzes folgt zuerst einmal\[F=F_{\rm{rück}} =-k \cdot y \quad (1)\]
Weiter ist bekanntlich ist die Beschleunigung \(a=a\left(t\right)\) die zweite Ableitung der Position \(y=y\left(t\right)\) nach der Zeit, d.h. es gilt\[a=\ddot y \quad(2)\]
Setzen wir \((1)\) und \((2)\) in die Grundgleichung der Mechanik ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray}F &=& m \cdot a\\ - k \cdot y &=& m \cdot \ddot y\end{eqnarray}\]
Zuerst vertauschen wir die beiden Seiten der Gleichung und dividieren beide Seiten der Gleichung durch die Masse \(m\). Dann bedenken wir, dass \(y=y(t)\) eine Funktion der Zeit ist, die als Zeit-Ort-Funktion die harmonische Schwingung beschreibt. Aus der Differentialrechnung wissen wir, dass die zweite Ableitung der Sinusfunktion die "Minus-Sinusfunktion" ist. So findet man leicht, dass z.B. die Zeit-Orts-Funktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot t} \right)\) eine Lösung der Gleichung \((*)\) ist: Setzt man nämlich \(y(t)\) und \(\ddot y(t) = - \frac{k}{m} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot t} \right)\) in Gleichung \((*)\) ein, so erhält man\[ - \frac{k}{m} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot t} \right) = - \frac{k}{m} \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot t} \right)\]eine stets wahre Aussage.
In der Gleichung \((*)\) kommt die Funktion \(y(t)\) und mindestens eine ihrer Ableitungen (hier die 2. Ableitung \(\ddot y(t)\)) vor. Man nennt eine solche Gleichung Differentialgleichung. Da die höchste vorkommende Ableitung hier die 2. Ableitung ist, spricht man von einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Das Finden von Lösungen von Differentialgleichungen gehört zur Hochschul-Mathematik.
Weitere Aspekte des Schaukelns
Es müsste eigentlich was mit der Veränderung des Trägheitsmoments zu tun haben, oder? Du veränderst einfach den Schwerpunkt. Genau genommen müßte man eigentlich, wenn es vorwärts geht, nicht nur den Körper nach hinten lehnen, sondern auch die Beine nach hinten strecken. Beim Rückwärtsschaukeln dann umgekehrt die Beine und der Oberkörper nach vorne, um den Schwerpunkt weit nach vorn zu bekommen. (Ich habe das praktisch ausprobiert, weil ich mir darüber Gedanken gemacht habe, als meine Kinder schaukeln lernten!).
Allerdings ist diese Bewegung ziemlich unergonomisch. Da die Beine leichter sind als der Körper kann man in Kauf nehmen, dass die Beine der gewünschten Schwerpunktverlagerung eigentlich entgegenwirken. Bei dieser Schaukelbewegung handelt es sich um erzwungene Schwingungen. Um die unvermeidbaren Reibungsverluste optimal auszugleichen, muss dem Pendel (Schwerependel) zum richtigen Zeitpunkt Energie vom Erregerschwinger, quasi von der schaukelnden Person zugeführt werden. In diesem Fall beträgt die Phasendifferenz zwischen Erregerschwingung und der Schwingung des Resonators Δφ = -π/2.
Es ist der Schwerpunkt. Ich erinnere mich an ein Vorlesungsexperiment, bei dem in den maximalen Auslenkungen die (unbemannte) Schaukel abgesenkt und beim Durchgang durch die Mitte angehoben wurde. Am ehesten hängt das mit dem Drehimpuls zusammen. Dass man dabei Energie aufwendet, merkt man, wenn man sich gegenläufig bewegt. Es kommt nicht auf die Richtung an.
Man muss im tiefsten Punkt den Schwerpunkt nach oben verlagern und im Totpunkt den Schwerpunkt nach unten verlagern.